수학 올립니다 조선시대의 산학서 구일집에 나타난 수학 문제 해결에 대한 고찰
[수학] 조선시대의 산학서 구일집에 나타난 수학 문제 해결에 대한 고찰
조선시대의 산학서 <구일집>에 나타난 수학 문제 해결에 대한 고찰
I. 들어가는 말
수학교육에서 역사발생적 원리에 따른 수학 지도법은 수학사에 관심을 갖게 하기에 충분하며, 수학 수업에서 수학사를 활용하는 이점에 대해서는 여러 문헌을 통해 인식되고 있는 실정이다. 그러나 우리가 오늘날 사용하고 있는 수학적 기호와 아이디어들은 대부분 서양의 수학 산물에서 비롯되므로 수학사에 대한 관심도 서양 수학사에 대한 비중이 커 왔음을 부인하기 어렵다. 서양의 수학사에 못지 않은 동양, 특히 중국의 수학사가 있었음을 들은 바 있지만 실제로 그 구체적인 모습에 대해서는 별로 알려진 바가 없다. 나아가 중국 수학의 지대한 영향을 받은 우리 나라의 수학에 대해서는 더더욱 그러하다.
본 고는 이러한 문제의식에서 조선시대의 산학서 <구일집>의 내용을 고찰하고 교육적 활용 방안을 논하는 것을 목적으로 한다.
구일집은 구일집 천(天), 구일집 지(地), 구일집 인(人)의 세 부분으로 나뉘어지며 각각에 3권씩 포함되어 있어 총 9권으로 이루어진 조선시대의 대표적인 산학서이다. 여기서 옛 선조들이 책의 순서를 매겼던 방법에 대해 잠시 언급하고자 한다. 저자들은 여러 권으로 이루어진 자신의 저서를 순서 매기고자 할 때 보통 1, 2, 3...을 쓰지만, 저자의 취향이나 풍류에 따라 여러 가지 다른 방법을 사용하였다. 가령 두 권이면 천지(天地), 또는 건곤(乾坤), 세 권이면 천지인(天地人), 네 권이면 원형이정(元亨利貞) 등으로 하는 경우를 말한다. 이에 따라 구일집도 천, 지, 인의 세 권으로 순서매겨져 있다.
이 산학서의 저자 홍정하(洪正夏: 1684∼?)는 조선왕조 숙종 10년에 태어난 중인 출신의 산학자이다. 산학팔격안(算學八格案)에 따르면, 그의 조부, 외조부, 장인이 모두 산학자인 것으로 미루어, 당시의 전형적인 산학자 집안 출신임을 알 수 있다.
본 고에서는 구일집의 9권 중 제 1, 2권에 한하여 각 절에서 다루는 문제들의 성격을 밝히고 몇 개의 문제들을 중심으로 하여 조선시대의 수학 문제 해결 방법에 대해 고찰하면서 교육적으로 함의하는 바를 도출할 것이다.
II. 구일집 제1권의 문제들
제 1권은 종횡승제문, 이승동제문, 전무형단문, 절변호차문, 상공수축문의 5개 절에서 총 80개의 문제를 담고 있다.
제 1절 : 종횡승제문(縱橫乘除門)1) 19문제: 일상생활에서 여기저기 뛰어다니는 것을 종횡(縱橫)이라 한다. 유추하여 종횡승제문은 일상생활 여기저기에서 널리 필요로 하는 곱셈과 나눗셈에 관한 문제들을 모아 놓은 절이다. 그 계산에서 일상적으로 사용된 길이, 들이, 무게 단위의 종류를 파악할 수 있고, 단위 사이의 변환을 위해 상호간의 관계를 알아야 할 뿐만 아니라 곱셈과 나눗셈을 수행해야 한다.
1-1-3 지금 금으로 사람의 모형을 만든 것이 12개 있다. 각각의 무게가 1000석이면 금은 모두 몇 냥인가?
답: 2304만냥이다.
풀이: 금으로 만든 사람의 모형의 개수 12에 1000석을 곱하면 12000석이고, 1석은 120근이므로 120을 곱하며, 다시 1근은 16냥이므로 16을 곱하면 물음에 합당하다.
풀이로부터 무게의 단위 1석(石)은 120근(斤), 1근은 16냥(兩)임을 알 수 있다. 위의 풀이 과정을 식으로 나타내면 다음과 같다.
12(개)×1000(석/개)=12000(석)
=12000(석)×120(근/석)=1440000(근)
=1440000(근)×16(냥/근)=23040000(냥)
이 문제는 단위 환산을 통해 곱셈을 수행하는 문제이다.
1-1-4 지금 알약을 복용하는 사람이 있는데, 첫째 날에 한 알을 먹고 하루가 지날 때마다 한 알씩 더 먹으면서 15일을 보내고, 이후에는 하루가 지날 때마다 한 알씩 덜 먹으면서 월말까지 가면 약은 모두 몇 알인가?
답 : 240알이다.
풀이 : 15알에 다시 15알에 1알을 더한 16알을 서로 곱하면 물음에 합당하다.
문제 자체로부터 명확히 파악할 수 없는 정보, 예컨대 한 달의 날 수라던가 16일 째 먹은 알약의 수에 대해서는 제시된 답과 풀이를 통해 다음과 같이 생각하고 있음을 알 수 있다.
날수 1일 2일 3일 ? 14일 15일 16일 17일 18일 ? 28일 29일 30일
알약의 개수 1 2 3 ? 14 15 15 14 13 ? 3 2 1
위의 풀이법 15×16은 꼬마 Gauss가 생각한 방법과 동일하다.
1+2+3+?+14+15+15+14+13+?+3+2+1
= 1+ 2+ 3+?+13+14+15
+15+14+13+?+ 3+ 2+ 1
= 15×16
= 240
이 문제는 초등학교에서 규칙 찾기 활동, 일반화를 포함하여 고등학교 2학년 수학 I에서 등차수열과 관련하여 활용할 수 있다.
1-1-5 지금 첫째 날에 쌀이 한 되 있다. 날마다 한 배가 더 증가한다면, 30일 뒤에 쌀은 모두 얼마인가?
답: 10737418섬 2말 4되이다.
풀이: 한 되가 매일 배로 늘어나면 5일 뒤에 32되가 되고 32를 제곱하면 1024되가 되는데, 이는 10일 뒤에 얻는 쌀의 양이다. 다시 1024를 제곱하면 1048576되인데, 이는 20일 뒤에 얻는 쌀의 양이다. 여기에 1024를 곱하면 물음에 합당하다.
이 문제는 첫째 항(1일 후)이 2이고 공비가 2(매일 한 배가 증가한다는 것은 두 배가 됨을 의미)인 등비수열에서 30째 항의 값을 묻고 있다.
1×2=2, 2×2=22, 22×2=23, 24, ?, 230
풀이에서는 230의 값을 구하기 위하여 다음과 같은 과정을 거치고 있다.
1단계: 5일 뒤의 쌀의 양을 구한다. 25=32
2단계: 32를 제곱하여 10일 뒤의 쌀의 양을 구한다. 32×32=1024=210
3단계: 1024를 제곱하여 20일
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자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/detail.asp?pk=11024374&sid=qjfRnf777&key=
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