감쇠 진동과 비감쇠 진동 Up
감쇠 진동과 비감쇠 진동
감쇠 진동과 비감쇠 진동
1. 감쇠 진동
모든 것은 결국 정지 상태로 돌아간다. 이것은 과학적으로 옳은 말은 아니지만 우리 주변의 많은 물체들이 그러하다. 그 이유는 공기나 물체와 물체 사이의 마찰이 존재하기 때문이다. 흔들리는 진자와 같이 단진동하는 물체들도 이론적으로는 무한히 진동을 반복해야 하지만, 실제로는 공기의 저항과 마찰 같은 감쇠력의 영향으로 진폭이 점점 줄어들다가 멈추고 만다. 감쇠력을 정량화 하는 방법은 다음과 같다. 물체는 움직일 때 공기의 저항을 받는다. 공기의 저항은 운동 방향과 반대 방향으로 힘을 작용하고, 충돌이 강할수록 공기 분자들이 작용하는 힘은 강하다. 실험적으로, 공기 저항은 속도에 비례한다. 즉,
b로 나타낸 비례상수를 감쇠상수라고 한다. (-) 부호가 붙은 이유는 힘이 운동 방향과 반대 방향으로 작용함을 의미한다. 위 결과를 단조화 진동의 운동 방정식과 결합하면 다음과 같다. 단진동의 대표적인 예로서 진동하는 용수철을 생각하자.
힘 : 감쇠력 + 복원력 :
다음과 같은 미분방정식이 유도된다.
이 때 미분연산자 d/dt를 �D로 표시하면, 함수 ?�?�에 D를 연산작용을 한다고 생각하고
괄호를 묶어주면
따라서 구하고자 하는 미분방정식의 일반적인 풀이는 각각의 1계 미분방정식에서 얻는 두 근의 선형조합인
로 주어지게 된다. 여기서 A1과 A2는 초기 조건에 의해 결정되는 상수이다.
�와 ��의 크기에 따라 감쇠진동은 다음과 같은 세 가지로 분류될 수 있다.
1) 작은감쇠진동(� � �� )
를 얻는다. 이 식에는 허수가 되지만, ?�?�는 항상 실수이어야 한다. 따라서 � � � � � 또는, � �과 � �는 서로 켤레 복소수이어야 한다. 그리고 ?�?�에 켤레 복소수를 취한 것 역시 ?�?�와 같기 때문에
이 때 � 와 ��는 켤레 복소수이다. 대입하면,
오일러의 항등식 ??� � ��� � � ?����를 사용하면
작은감쇠의 특징은 첫째, 진폭이 지수함수적으로 감소하여, 점점 진동이 약해진다는 것이며 또 다른 특징은 주기가 길어진다는 것이다. 실제로 주기에서, 감쇠가 없을 때보다 주기가 더 길어진다. 결국 감쇠가 주기를 길게 만드는 효과를 가져온 것이다.
작은감쇠진동의 경우 진폭 �가 시간에 따라 지수적으로 감소하게 된다. 또 새로운 진동수 �′는 원래 진동수 �보다 더 작다. 즉 감쇠에 의해 좀 더 느린 진동을 하게 된다.
2) 임계감쇠진동(� � � )
이 함수는 시간에 따라 진동하지 않고 점점 작아지고, 평형 상태로 빠른 시간에 되돌아온다. 그래서 임계감쇠진동은 진동을 빠른 시간 내에 멈추는 것이 필요할 때 유용하게 쓰인다. 그래서 자동차의 완충기나, 용수철을 이용한 저울에서는 모두 임계감쇠진동을 이용한다.
3) 과잉감쇠진동(� � � )
진동은 일어나지 않으나, 감소하는 빠르기는 임계감쇠진동에 비해 느리다.
감쇠진동을 할 때에 에너지는 어떻게 변할까? 전체 역학적 에너지 � 는
그래서 에너지의 변화율은 속력의 제곱에 비례하면서 감소하게 된다. 미급감쇠에서, 감쇠의 정도를 평가하는 척도가 되는 것 중, � 인수라는 것이 있다. � � �������를 뜻하며, 말로 풀어 쓰면 한 주기 동안 전체 에너지를 손실된 에너지로 나눈 후 ��를 곱한 값을 뜻한다. �� 가 작을수록, 혹은 감쇠가 약할수록 � 인수는 커진다.
미급감쇠 진동의 경우, 시간에 따른 변위는 아래와 같이 표현할 수 있다.
이 때 앞서 보았듯이, 에너지의 변화율은 속력의 제곱에 비례하므로 �?를 구할 필요가 있다.
�� 는 한 주기 동안 잃은 에너지를 뜻한다.
� � �??� �로 치환하고, 적분변수를 �로 바꾸면 ??/?� � �?에서, 다음이 성립한다.
동의하기 어려울지 몰라도, �가 매우 작을 때에는 는 거의 변하지 않는다. 그래서
이 적분을 계산하면,
� � c/2m , 2�/w? � � 를 여기에 적용하면
그리고, 임의의 순간에 진동자에 저장된 에너지 � � 라는 점을 이용하면 한 주기 동안 잃은 에너지의 크기와 전체 에너지의 비 ��� �/� = ��? = T/�가 된다. 이 때 �는 를 로 만드는 시간이다.
그러므로 최종적으로 � 인수는 다음과 같이 표현된다.
� 인수가 갖는 물리적인 의미는 무엇인가? 미급감쇠하는 물체의 초기 진폭 �가 � 가
될 때까지 진동하는 횟수가 바로 � 인수가 된다. 진폭이� � ��의 형태로 줄어들기 때문에, �/��=가 되고, ?� �/�가 된다. 이 시간 동안 진동하는 횟수는
즉 � 인수가 클수록, 훨씬 더 많이 진동을 하여야만 진폭이 작아지며 이는 감쇠가 작다는 것을 의미한다. 그래서 � 인수는 진
동자가 에너지를 잃는 척도가 된다. 일반적으로, 원자 단위의 미소한 진동으로 들어갈수록
� 인수가 훨씬 커지는데 들뜬 원자의 � 인수는 , 중성자 별의 인수는 �인수는 ���정도 된다.
2. 비감쇠 자유진동
만약, 감쇠가 없는 진동계을 가정하면 식(3.1)에서 C=0 으로 둔 것과 같으므로, 식(3.5)에서 C=0 으로 놓으면
식(3.8)과 같이 된다. 여기서 ω는 감쇠가 없는 진동계의 원진동수이며 우리가 상식적으로 알고 있는 것처럼, 구조물의 강성이 강하면 강할수록 진동수는 빨라지고 질량이 크면 클수록 진동수가 늦어지는 물리적인 특성을 반영하고 있다.
그리고 식(3.8)의 값을 식(3.6)에 적용하면
식(3.9)가 된다. 그러나 복소수로 표현된 식은 표현의 간결함은 있으나, 수식이 갖는 물리적인 의미를 파악하기에는 불편함이 있으므로 아래와 같은
Euler 공식을 이용하고, 임의의 적분상수 D1, D2 을 아래와 같이
복소수의 형태로 놓고, 식(3.9)의 표현을 달리하면
가 된다. 여기서 적분상수들은 임의의 새로운 적분상수로 바꿀 수 있으므로
새로운 적분상수 A, B를 위와 같이 놓으면,
식(3.9)는 식(3.11)과 같이 되며 진동의 형태를 나타내는 가장 기본적인 형태가 된다.
여기서, 적분상수 A, B는 진
자료출처 : http://www.ALLReport.co.kr/search/detail.asp?pk=11040386&sid=ddangkung&key=
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키워드 : 감쇠,진동과,비감쇠,진동
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